Задача со шнуром

На шнуре длиной 1 м случайным образом делают два разреза. С какой вероятностью хотя бы один из получившихся кусков будет длиннее 0,5 м? Почему?

Ответ: 75% 
 

Пусть A и B — концы шнура, а x и y — расстояние в метрах от конца A до двух разрезов. Тогда данный процесс можно представить как выбор случайный образом точки внутри квадрата K={(x,y)|0≤x,y≤1}.

Один из кусков будет больше 0,5 м в трёх случаях:

1) оба разреза сделаны справа от середины шнура
2) оба разреза сделаны слева от середины шнура
3) расстояние между разрезами больше 0,5 м

Им соответствуют 3 непересекающиеся области:

A₁={(x,y)|(x,y)∈K, x,y < 0,5}
A₂={(x,y)|(x,y)∈K, x,y > 0,5}
A₃={(x,y)|(x,y)∈K, |x−y| > 0,5}

shnur.jpg

Вероятность того, что один из кусков шнура будет длиннее 0,5 м равна отношению суммы площадей этих трёх областей к площади квадрата K:

p = (S(A₁)+S(A₂)+S(A₃))/S(K)=(0,25+0,25+0,25)/1=0,75, или 75%